Máy tính ƯCLN và BCNN

Nhập hai số nguyên dương trở lên để tìm ngay ước chung lớn nhất (ƯCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN), kèm ba cách giải: phân tích ra thừa số nguyên tố, chia liên tiếp và thuật toán Euclid. Bạn có thể dùng để kiểm tra bài tập hoặc học từng bước. Ba, bốn số trở lên cũng tính được.

Cách dùng máy tính ƯCLN và BCNN​

1. Nhập các số, cách nhau bằng dấu cách hoặc dấu phẩy, ví dụ 12, 18 hoặc 12 18 30 – tối đa 10 số, mỗi số tối đa 12 chữ số. Sau đó bấm Tính toán hoặc nhấn Enter.
2. ƯCLN và BCNN hiện ngay bên dưới; bấm biểu tượng để sao chép. Nếu ƯCLN bằng 1, các số được đánh dấu là nguyên tố cùng nhau.
3. Trong Các bước tính, chuyển giữa Phân tích ra thừa số nguyên tố, Chia liên tiếp và Thuật toán Euclid để xem lời giải.
4. Khi nhập đúng hai số, bạn còn thấy phép kiểm tra: tích hai số = ƯCLN × BCNN.

ƯCLN và BCNN là gì?​

• Ước: số tự nhiên chia hết một số. Ư(12) = 1, 2, 3, 4, 6, 12.
• Ước chung: ước của tất cả các số. ƯC(12, 18) = 1, 2, 3, 6.
• Ước chung lớn nhất (ƯCLN): số lớn nhất trong các ước chung. ƯCLN(12, 18) = 6.
• Bội: số nhân với 1, 2, 3… B(12) = 12, 24, 36, 48…
• Bội chung: bội của tất cả các số. BC(12, 18) = 36, 72, 108…
• Bội chung nhỏ nhất (BCNN): số nhỏ nhất khác 0 trong các bội chung. BCNN(12, 18) = 36.

Với số nhỏ, bạn có thể liệt kê ước và bội; với số lớn hoặc từ ba số trở lên, các cách dưới đây nhanh hơn.

Ba cách tìm ƯCLN và BCNN​

Cả ba cách dưới đây dùng 12 và 18 và đều cho ƯCLN = 6, BCNN = 36.

Cách 1: Phân tích ra thừa số nguyên tố​

Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố:

• 12 = 2² × 3
• 18 = 2 × 3²

Rồi so sánh số mũ của từng thừa số:

• ƯCLN = 2 × 3 = 6 – chỉ lấy thừa số chung, với số mũ nhỏ nhất
• BCNN = 2² × 3² = 36 – lấy chung và riêng, với số mũ lớn nhất

Cách 2: Chia liên tiếp​

Chia cả hai số cho một số nguyên tố chung, lặp lại đến khi không còn ước chung:

2 ) 12   18
    ───────
3 )  6    9
    ───────
     2    3

• ƯCLN = tích các số chia bên trái = 2 × 3 = 6
• BCNN = các số chia bên trái × hàng cuối = 2 × 3 × 2 × 3 = 36

Ở Việt Nam, sách giáo khoa chủ yếu dạy cách phân tích ra thừa số nguyên tố; cách chia liên tiếp cho cùng kết quả và thường nhanh hơn khi làm tay.

Cách 3: Thuật toán Euclid​

Lấy số lớn chia cho số nhỏ, rồi lấy số chia chia cho số dư, lặp lại đến khi số dư bằng 0. Số chia cuối cùng là ƯCLN:

• 18 = 1 × 12 + 6
• 12 = 2 × 6 + 0 → ƯCLN = 6

Sau đó BCNN = tích hai số ÷ ƯCLN: 12 × 18 ÷ 6 = 36.

Thuật toán Euclid rất hữu ích với số lớn khó phân tích, ví dụ 1071 và 462:

• 1071 = 2 × 462 + 147
• 462 = 3 × 147 + 21
• 147 = 7 × 21 + 0 → ƯCLN = 21, BCNN = 1071 × 462 ÷ 21 = 23562

ƯCLN và BCNN của ba số​

Với 12, 18 và 30: ƯCLN là 6, BCNN là 180. Khi có từ ba số trở lên, cách chia liên tiếp cho ƯCLN và BCNN khác nhau.

Tìm ƯCLN: chỉ chia khi có số nguyên tố chia hết tất cả các số:

2 ) 12   18   30
    ────────────
3 )  6    9   15
    ────────────
     2    3    5

ƯCLN = 2 × 3 = 6

Tìm BCNN: tiếp tục chia khi có số nguyên tố chia hết ít nhất hai số, số nào không chia hết thì chép xuống. Ví dụ 4, 6 và 8:

2 ) 4   6   8
    ─────────
2 ) 2   3   4
    ─────────
    1   3   2

Ở hàng thứ hai, 3 không chia hết cho 2 nên được chép xuống. BCNN = 2 × 2 × 1 × 3 × 2 = 24, còn ƯCLN chỉ là số chia đầu tiên, 2.

Lỗi thường gặp: với hai số, BCNN = tích ÷ ƯCLN, nhưng với ba số thì không áp dụng được. 12 × 18 × 30 ÷ 6 = 1080, trong khi BCNN đúng là 180. Hãy dùng phân tích ra thừa số nguyên tố (12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3², 30 = 2 × 3 × 5 nên BCNN = 2² × 3² × 5 = 180), chia liên tiếp, hoặc tìm BCNN của hai số đầu rồi với số thứ ba.

Bài toán thực tế về ƯCLN và BCNN​

ƯCLN: chia thành phần lớn nhất, chia đều

• Một tấm bìa 24 cm × 36 cm được cắt thành các hình vuông bằng nhau, không thừa. Cạnh hình vuông lớn nhất là bao nhiêu? → ƯCLN(24, 36) = 12 cm, được 2 × 3 = 6 hình.
• Chia đều 18 quả táo và 24 quả cam cho các bạn, không thừa. Nhiều nhất bao nhiêu bạn? → ƯCLN(18, 24) = 6 bạn, mỗi bạn 3 táo và 4 cam.

BCNN: lặp lại cùng lúc, quy đồng mẫu số

• Xe buýt A cứ 12 phút có một chuyến, xe B cứ 18 phút. Lúc 7:00 hai xe cùng xuất bến, khi nào lại cùng xuất bến? → BCNN(12, 18) = 36, tức 7:36.
• Quy đồng mẫu số: mẫu chung của 1/12 + 1/18 là BCNN 36, nên 3/36 + 2/36 = 5/36.

Mẹo nhận biết: bài toán chia đều thành phần lớn nhất thường dùng ƯCLN; bài toán khi nào lại trùng nhau thường dùng BCNN.

Câu hỏi thường gặp​

Cách tìm ƯCLN và BCNN như thế nào?​

Cách phổ biến là phân tích các số ra thừa số nguyên tố: ƯCLN là tích các thừa số chung với số mũ nhỏ nhất, BCNN là tích các thừa số chung và riêng với số mũ lớn nhất. Bạn cũng có thể chia liên tiếp cho các số nguyên tố chung, hoặc dùng thuật toán Euclid để tìm ƯCLN.

Tìm BCNN của ba số như thế nào?​

Phân tích ba số ra thừa số nguyên tố rồi lấy tất cả các thừa số với số mũ lớn nhất, hoặc chia liên tiếp: chia khi có số nguyên tố chia hết ít nhất hai số, số không chia hết thì chép xuống. Ví dụ BCNN(12, 18, 30) = 180. Không dùng “tích ba số ÷ ƯCLN”.

Hai số nguyên tố cùng nhau thì ƯCLN và BCNN bằng bao nhiêu?​

Hai số nguyên tố cùng nhau có ước chung duy nhất là 1, nên ƯCLN = 1 và BCNN bằng tích hai số. Ví dụ 8 và 15: ƯCLN = 1, BCNN = 120.

ƯCLN và BCNN có quan hệ gì?​

Với hai số, tích của chúng bằng ƯCLN × BCNN. Ví dụ 12 × 18 = 216 = 6 × 36. Vì vậy biết ƯCLN thì BCNN = tích ÷ ƯCLN. Quan hệ này chỉ đúng với hai số.

ƯCLN và BCNN tiếng Anh là gì?​

ƯCLN là Greatest Common Divisor (GCD), còn gọi là Greatest Common Factor (GCF); BCNN là Least Common Multiple (LCM).